El HOMBRE DE VITRUVIO. UN TRAZADO BASADO EN EL NÚMERO DE PLATA
RESUMEN
La conocida lámina de Leonardo “El Hombre de Vitruvio” es frecuentemente citada como referencia para el uso de la proporción áurea en la naturaleza -el cuerpo humano- y en el arte. Sin embargo, un estudio detallado revela que el número que domina en la figura y lámina es la raíz de dos. Derivada de ésta, la proporción que determina la posición del centro del círculo es la llamada proporción plateada θ, ya que la solución más simple para determinar el centro del círculo es mediante el giro del cuadrado que genera el octógono regular.
El “número de plata” θ aparece en la arquitectura clásica en época romana y se define a partir del octógono regular, como la relación entre la diagonal y el lado.
θ = √2+1
A partir de estas proporciones geométricas se plantea una posible integración del codo real egipcio (cr) de 28 palmas. Esto implica una complejidad innecesaria para el sistema métrico egipcio(1) pues requiere de la introducción del factor primo 7. La explicación más sencilla (y por tanto la más probable) estaría en una asimilación geométrica de una medida desconocida sin proporción racional con el codo natural. Mediante una aproximación geométrica (diagonal de un cuadrado) con el remen, por la proporción √2, que en aproximación racional sería 7/5.
Una hipótesis alternativa es la del simbolismo de esta proporción √2. Las proporciones tenían un significado trascendente como vemos en la obra de Platón, recogiendo la tradición pitagórica que hereda conocimientos del antiguo Egipto. Así el cr se vincula con la arquitectura sagrada de forma expresa tal como aparece en el llamado Libro de los Muertos: “la medida en codos reales y no en otros codos”. En definitiva, una proporción inconmensurable lleva del cuadrado al círculo, del símbolo humano al símbolo divino.
INTRODUCCIÓN
Por motivos prácticos, los sistemas metrológicos de la antigüedad parten de las medidas y proporciones del cuerpo humano. Además, por razones culturales se establece un canon del arte. Según la RAE, canon en su 4º acepción es: “En arte, regla de las proporciones de la figura humana, conforme al tipo ideal aceptado por los escultores egipcios y griegos”.
Marco Vitruvio, arquitecto e ingeniero romano (del siglo I a. C.) es famoso por escribir una obra que influyó decisivamente en el Renacimiento: De Architectura Libri Decem (Los Diez Libros de Arquitectura). Dentro de este tratado aparece el famoso canon de proporciones, de difícil interpretación al carecer de dibujos explicativos, llegándonos una traducción en un latín técnico y confuso atribuida a Petrarca.
Como ocurre con otras tantas cosas, el arquitecto romano recoge el legado del arte griego; aunque, realmente el origen se encuentra en una época remota de esplendor en el valle del Nilo. Ya que la misma fascinación romana hacía el arte griego, la tendría anteriormente la Grecia clásica por el legado del antiguo Egipto.
Este canon de Vitruvio será recogido por muchos artistas, con diversas interpretaciones, durante el Renacimiento, aunque la plasmación en una lámina por Leonardo (HV a partir de ahora) es la más popular.
Todo en la figura es una fuente de proporciones, algunas usadas como unidad de medida(1). Da Vinci nos muestra en esta lámina a un hombre que se encuentra en dos posturas: una con los brazos en cruz y otra con los brazos en aspa(2). La primera se corresponde a un hombre en pie; y la forma abierta, sería un hombre tumbado en decúbito supino según se deduce del texto del arquitecto romano Vitruvio.
Una regla bajo la figura cuadrada en la que se inserta el HV nos proporciona la escala de las proporciones en palmas y dedos. Con un codo natural (c) de 6 palmas o codo corto egipcio.
La proporción más significativa es la de 4 codos, la talla de un hombre. Por tanto
T = 4 x 6 x 4 = 96 dedos.
La figura en cruz se inscribe en un cuadrado del tamaño de la envergadura de brazos e igual a la talla del hombre (T), siendo el sacro su centro.
La figura abierta en aspas, se inscribe en un círculo con centro en su ombligo.
EL CÍRCULO
La práctica totalidad de las referencias bibliográficas encuentran en esta figura la proporción áurea por doquier, la más admitida es la posición del ombligo.
El radio, la distancia del ombligo a los pies, dicen que sería curiosamente T/Φ.
En definitiva, supone que el lado del
cuadrado (T) y el radio (T/Φ) están en relación con la divina proporción.
Pero surgen controversias con el círculo, su centro y radio.
Suposición r = T/Φ = 59,33126292
Sin embargo gráficamente no es coincidente T/r ≠ Φ. Aguadé y Fuster (ver cita bibliográfica) dicen que realmente la proporción sería:
T/r = 5/3 = 1,6666...; r = 57,6
Significando estos autores que 5/3 es igualmente una relación usada en la antigüedad, como una aproximación racional, y por tanto, más manejable del número phi.
Para encontrar el radio y centro del círculo gráficamente, los anteriores autores(3) rotan el cuadrado 45º. Con este giro de π/4, la diagonal vertical del cuadrado nos define el diámetro ya que hay una coincidencia entre el vértice y el polo superior del círculo; obteniéndose el centro gráficamente al unir con una recta los puntos de corte entre el cuadrado girado y el círculo (ver imagen).
Esta sencilla construcción parece ajustar el círculo a partir del cuadrado, lo que descarta que Leonardo buscara la relación áurea. No obstante deriva de la raíz de dos como podemos intuir viendo que es la diagonal del cuadrado la que define el círculo.
Al menos para las proporciones de la lámina de Leonardo, hay un motivo lógico para el uso de √2 como razón de semejanza. Por motivos prácticos, es posible dividirla por la mitad sin perder la proporción entre sus lados. Es probable que esta particularidad ya entonces se conociese y utilizase para el formato del papel, como actualmente con los formatos de hoja normalizados para impresora o fotocopiadora A4 ó A3(4).
Demostrémoslo (imagen superior). Llamemos a, a la distancia entre la cabeza y el círculo; b, a la distancia entre el punto tangente de las dos figuras geométrica (cuadrado y círculo), con el otro extremo del cuadrado girado. Usemos el lado T del cuadrado como unidad y llamemos r al radio y d a la separación entre los centros geométricos, del círculo y del cuadrado. Podemos trabajar con las siguientes igualdades:
A) √2 = a+1+b
B)
√2/2 =
1/2+b
C)
2r =
√2-b
D) √2 = r+d+1/2+b
Restemos A) y B):
√2- √2/2 = a+1-1/2+b-b
√2/2 = a+1/2
a = (√2-1)/2
Si despejamos b en A;
b = (√2-1)-a; ya que
(√2-1)=2a
b = 2a-a
Como podíamos intuir a = b
Por tanto con 2r = √2-b
2r = √2-(√2-1)/2; para poder restar con mismo denominador multiplicamos y dividimos por 2 el sumando √2.
2r = (2√2)/2-(√2-1)/2= (2√2-√2+1)/2
2r = (√2+1)/2
r = (√2+1)/4
Ahora que sabemos el radio, definamos el centro buscando d, usando la ecuación D:
√2 = r+d+1/2+b; d = √2-r-1/2-b
d = √2-(√2+1)/4-1/2-(√2-1)/2; usamos 4 como denominador común.
d = [4√2-(√2+1)-2-2(√2-1)]/4; quitamos paréntesis para hacer las
sumas.
d = [4√2-√2-1-2-2√2+2]/4
d = 1/4 (√2-1)
Si tenemos en cuenta que usamos T como unidad y que el cuadrado está dividido en 4 codos, resulta que:
r = √2+1 codos
d = √2-1 codos
Como suma por diferencia es diferencia de cuadrados, d es el inverso del radio.
d = 1/r
Gráficamente el radio guarda una curiosa relación con el cuadrado, o más bien con el codo:
u El radio es un codo más la diagonal de otro codo. r = (1+√2)c
u d es el inverso del radio y también la diferencia entre la diagonal del codo y un codo.
Por tanto la expresión √2+1 define la posición del centro del círculo. Por eso decimos que el centro del círculo se deduce no de phi sino de √2 (ver imagen).
La verdadera relación entre el lado del cuadrado y el radio es:
T/r = 4c/(√2+1)c = 4/ θ = 1,656854249…
Siendo θ el llamado “número de plata” o “proporción plateada(5)”
Realmente, el centro del círculo tan relacionado con la proporción áurea en tantos escritos, parece estar más cerca de la "proporción plateada", muy usada en arquitectura antigua y derivada de la raíz de dos, singularmente presente en el octógono que hemos formado con el giro y el ángulo de 22,5º ó π/8.
tg(π/8) = 1/ θ.
El centro del círculo coincide con el incentro del triángulo rectángulo isósceles formado a partir de dos cuadrículas del codo, de tal forma que la base serían 2 codos y los lados la diagonal del codo. Esta es una forma alternativa para definir el centro del círculo a partir del cuadrado.
Hay una distancia d en unidades de la cuadrícula (c) que es la distancia entre el círculo inscrito y el vértice del triangulo (ver dibujo superior).
Para encontrar este punto incentro calculamos el radio ri
ri = [ ((s-a1) (s-a2) (s- a3))/s]1/2
Siendo a1, a2, a3, los lados del triángulo y s el semiperímetro.
En nuestro caso, llamemos c al lado de la cuadrícula de 24 dedos (codo natural). Omitiremos indicar las unidades que son en dedos.
ri = [(s-2c) (s-√2c) (s-√2c) (1/s)]1/2
s = (2c+2√2c)/2 = c+√2c =c(1+√2) = 57,9411255
Sustituimos s = c(1+√2) y sacamos c como factor común
ri = [c(1+√2-2) c(1+√2-√2) c(1+√2-√2) (1/s)]1/2
ri = [c3(√2-1).1/s]1/2
ri = [c3(√2-1)/(c(1+√2)]1/2
ri = [c2(√2-1)/(1+√2)]1/2
Ya que suma por diferencia es diferencia de cuadrados, siendo en este caso 1.
(√2+1)(√2-1) = (√2)2 -12 = 2 – 1 = 1
Si multiplicamos en el quebrado arriba y abajo por (√2+1) el numerador se
reduce a 1, mientras que el denominador se eleva al cuadrado.
ri = [c2(√2-1)(√2+1) /(1+√2)(√2+1)]1/2
ri = [c2 /(1+√2)2]1/2
ri = c /(1+√2)
Volvemos a usar el mismo principio para eliminar la fracción, multiplicamos ahora por (1-√2)
ri = c (√2-1) /(1+√2) (√2-1) ; siendo como hemos comprobado (1+√2) (√2-1) =1
ri = c (√2-1 )
La primera conclusión es que, haciendo esta maniobra el radio de la circunferencia no va a ser un número racional. Algo así como 10 dedos menos una cantidad inferior a 1/20 de dedo.
ri = 9,941125497...
Ahora podemos calcular el valor del radio r a partir de la diagonal del cuadrado T.
r = (√2T/2) – ri
r = (2c√2) - (c√2-1)
r = c (√2+1) = 57,9411255…
Podríamos redondear a 58 dedos, pero su verdadero valor es irracional, no expresable decimalmente ya que no hay decimales periódicos.
EL TRAZADO SOBRE LA LÁMINA BASADO EN
LA√2
v El tamaño de la lámina.
No he podido ver la lámina personalmente, solamente trabajar con una fotografía tomada de internet. Una imagen fotográfica tiene una deformación óptica, aún cuando se cuide de tomar la foto con la cámara centrada y ortogonalmente, este error es menor si se escanea el original, que podría ser el caso(6). Además el papel deteriorado en sus bordes puede estar algo curvado, tanto que hace imposible establecer una medida más precisa que la palma de cuatro dedos.
Con todas estas precauciones, vamos a analizar la lámina. Para una mejor compresión utilizaremos como unidad la palma que aparecerá como una rejilla sobre la lámina.
¿Podría ajustarse el tamaño a números redondos? Hasta la palma puede observarse gráficamente, con el dedo es más difícil.
Por eso podemos decir que podría ajustarse a 33 x 46 palmas.
Tomando como eje de coordenadas el vértice inferior izquierdo del cuadrado, vemos una notable simetría, pues el eje de la lámina es y = 12.
Para alcanzar el borde medio, habría que añadir 4,5 palmas a cada lado del cuadrado. Pero ese borde es muy irregular, podría pensarse que se recortó con poca precisión de un tamaño mayor. No obstante, puede que siempre fuese así y Leonardo dibujara un marco rectangular de referencia dentro de los límites de la lámina o incluso fuera de ella. Esto no creo que se sepa con certeza.
En cuanto al largo, por debajo del cuadrado, parece coincidir con dos codos (12 palmas); por encima, un codo y 4 palmas (10 palmas). Por tanto 10+24+12 = 46 palmas.
Decían Aguadé y Fuster que la lámina tenía una proporción de raíz de dos como el formato DIN A4 de nuestras hojas de papel (se utiliza en otros tamaños bajo la norma ISO 216 derivado de la DIN 476).
Con las medidas anteriores 46/33 =1,39 no se obtiene una relación muy precisa de raíz de dos.
Pero haciendo el giro del cuadrado encontramos algo que no parece casual. Parece ajustarse al ancho de la lámina, la diagonal es 33,94 palmas (casi 34) que parece coincidir con la distancia entre la base del cuadrado y el borde de la lámina superior (en rojo en la lámina).
El largo satisfactorio para que se cumpla la proporción es 48 palmas, el doble del lado del cuadrado T.
48/33,94 = 1,4142
Siguiendo el trabajo de Aguadé y fuster: “según Frank Zöllner, el folio mide 344,00 x 244,00 mm, aunque este dato no es del todo correcto. Valeria Poletto, directora del Gabinetto di disegni e stampe de la Galleria de l’Academia de Venecia, nos ha confirmado que sus dimensiones son 345,00 x 246,00 mm”.
Las aproximaciones a raíz de dos son:
344/244 = 1,4098
345/246 = 1,4024
Las 24 palmas del cuadrado, medidos personalmente por Luis Castaño con regla, alcanzan la longitud de 180 mm; lo que lleva a Castaño a afirmar que la figura humana mide 1,80 m de alto y envergadura (T). No llama la atención que Leonardo usara la escala 1/10 pero sí resulta una medida sorprendentemente redonda en el SMD. Esto es así dado que Leonardo usa el dedo de 18.75 mm (1.875 mm en el dibujo)(7). Por tanto el codo sería exactamente 450 mm, longitud que no puede corresponderse al codo romano (444 mm) pero se ajusta al codo corto egipcio según Lepsius y por tanto al dedo del codo real egipcio. Si esto fuese cierto, Leonardo usa las medidas de los constructores de las pirámides y no las medidas con las que trabajaba Vitruvio. Conforme a las medidas egipcias, la talla 1,80 m no se puede alejar mucho del canon artístico, quizá para entonces debería ser ligeramente más baja. Por ejemplo para Petrie el dedo sería de 18,5 mm, lo que nos da para el modelo 96 x 18,5= 1,78 m. En el caso romano con un codo de 444 mm, sería 1,77 m.
Si tomamos el tamaño de la lámina como los límites del marco en la proporción de raíz de dos, habría que considerar que se recortó en su parte inferior unas dos palmas y en mm sería:
Ancho x largo = 254,56 x 360,00 mm
Este marco teórico excede a las dos dimensiones de la lámina en 9,5 mm y 15,5 mm, respectivamente.
La línea color lima define el rectángulo rector. Superpuesta a la anterior salvo abajo (en donde coincide con la base del cuadrado T) está el cuadrado rector de color rojo ladrillo de lado T√2. El fondo tiene una rejilla ajustada a la medida en palmas (4 dedos).
v Definir el marco a partir de T
Con apertura de compás T/2 = 48 dedos (90 mm en la lámina), se posicionan en r’ los puntos T1, T1’ que definen el segmento de longitud T. Se realizan sendas perpendiculares a los puntos conseguidos T1, T1’.
Desde uno de estos puntos, por ejemplo T1, se traslada la distancia T/2 para obtener el punto auxiliar Ta.
Ahora para obtener el ancho igual a T√2, buscamos la media diagonal del cuadrado T. Con centro en A, tomamos el radio Ta- A hasta r’ obteniendo los puntos que definen los vértices del marco rector M y M’.
Solo queda hacer perpendiculares en estos vértices y trasladar el largo del marco 2T con dos aperturas de compás T para obtener los vértices inferiores del marco.
Es fácil pues es 1+√2. Esto es un codo y la diagonal de otro.
Posicionar el centro del círculo se hace fácilmente después de subdivir el cuadrado dos veces para obtener la cuadrícula del codo y, en el primer cruce desde la base del cuadrado, hacer centro del compás para llevar la diagonal hasta el corte con el eje de simetría que es la posición buscada.
Hay otras formas de obtener la posición de las figuras. Aguadé y Fuster realizan el dibujo tomando las dimensiones del marco 240,00- 339,41.
Esto es, toma el ancho igual a 240 mm o T4/3=32 palmas.
Con el largo obtenido al multiplicar por raíz de dos, como método ya explicado.
Por lo que el largo es: 240 √2 = 339,41 mm
La construcción se realiza de la siguiente forma (vean imagen en la página siguiente).
Se parte de un cuadrado que ellos llama el “marco
rector”, de 32 palmas de lado ó 240 x
240 mm (en rojo en la imagen). Posicionándolo
en la parte inferior de la lámina centrado respecto a su eje, define los
vértices inferiores y para los superiores se traslada con el compás la diagonal del cuadro que es
la longitud 240 √2.
Un observación curiosa es que la línea superior de este
“marco rector” está dibujado por Leonardo, como una línea auxiliar que pasa por
las clavículas. Ésta se prolonga por las puntas de los dedos que tocan el borde
del cuadrado del hombre en cruz.
Para encontrar el centro del cuadrado T (sacro) divide el
cuadrado mediante diagonales en 4 partes. Es decir, es el punto medio del
rectángulo superior formado al dividir por la mitad el cuadrado rector. El
cuadrado queda definido puesto que la distancia entre el sacro y el borde
inferior es T. Con el compás,
buscamos la mediatriz de este segmento.
encontramos la base del cuadrado a T/2 y desde allí los vértices inferiores y podemos completar el cuadrado.
En la imagen se ha añadido el marco rector centrado en el
cuadrado y girado, esto no es necesario en la construcción, simplemente se
muestra nuevamente la relación con el giro entre las figuras y la raíz de
dos. Hay una coincidencia con los
vértices inferiores del cuadrado.
Para encontrar el centro del círculo, trasladamos el “marco
rector” al extremo superior de la lámina. La línea que forma la base de este
cuadrado marco rector, al cortar el eje de la lámina define un punto
(amarillo). Desde aquí trazamos un arco con la apertura de compás que hay hasta
el borde inferior de la lámina, encontrando así el centro del círculo (en
rojo).
v El “número de plata” en la geometría del
HV
El “número de plata” θ aparece en la arquitectura clásica en época romana. Se define a partir del octógono regular, como la relación entre la diagonal y el lado.
θ = √2+1
En la imagen, la diagonal del octógono es el lado del cuadrado T.
Y el lado del octógono es el inverso de L = √2-1
θ = T/L = 1/√2-1
En la imagen anterior se dibuja el octógono formado tras el giro del cuadrado. El lado del octógono T/θ está en relación inversa con el lado del cuadrado. Mientras que el radio del círculo es θ en proporción al codo. El rectángulo verde tiene las dimensiones 2 de largo por √2 de ancho. Define el centro del círculo y es una partición del rectángulo del marco rector 4 veces (1/16), las misma proporción del codo respecto al cuadrado (imagen siguiente).
El inverso del número de plata forma el lado del octógono inscrito en el cuadrado. También los lados de los cuadrados en azul para el codo como referencia, que es ¼ del lado del octógono.
√2 x √2 = 2
Más claro en las dimensiones de la serie formato Din A. El ancho y el largo, además de alternarse en el siguiente, se duplican cada dos.
A4 210 x 297 mm
A5 148 x 210 mm
A6 105 x 148 mm
A7 74 x 105 mm
A8 52 x 74 mm
A9 37 x 52 mm
A10 26 x 37 mm
En la lámina en dedos son:
Ancho Largo
135,76 192
96 135,76
67,88 96
48 67,88
33,94 48
24 33,94
16,97 24
. .
v Conclusión
Se han realizado diferentes propuestas acerca de la realización del dibujo, más concretamente cómo se realizó el círculo y qué relación tiene con el cuadrado. La más clásica es que ambas figuras están relacionadas con la proporción áurea.
Aguadé y Fuster han estudiado el HV buscando un “marco rector” a
partir de las dimensiones de la lámina. Dado que ésta tiene bordes irregulares
(no tiene un buen corte) rectifican la lámina interiormente para formar un
rectángulo con proporción raíz de dos. Lo hacen así puesto que, de principio,
se puede observar como haciendo un simple giro del cuadrado (un giro del compás
es el más elemental de los movimientos en geometría) el vértice ahora vertical
tenga una aproximación bastante buena con el círculo en su polo superior. Esto
sólo puede significar una cosa, la proporción con la que trabajó Leonardo no
fue la áurea sino la raíz de dos. Quizá
por el mismo motivo técnico que un arquitecto de la actualidad también trabaja
con papel en ese formato técnico ISO 216
derivado de la DIN 476.
La imagen está perfectamente centrada en el eje r,
pues es el eje de simetría de las dos figuras geométricas. AF proponen un ancho
de 240 mm y dado que la medida del cuadrado parece ser de 180 mm, plantean que
T (talla o envergadura del hombre) es 3/4 del ancho de la lámina.
Esta medida difiere de la precisa medida del ancho de esta
lámina que es 246 mm. Geométricamente se justifica por los siguientes motivos:
·
Al
llevar el cuadrado de 240 a la línea de la clavícula, parece ajustarse al borde
inferior de la lámina.
·
El
ancho es preciso de 32 palmas. Ya que 240 mm serían en la lámina 4/3 del
cuadrado de 24 palmas.
Con este planteamiento se posiciona el borde inferior de la
lámina que está a 240 mm de la línea de la clavícula. Queda por definir el borde superior y se hace
mediante la proporción √2, que nos lleva del cuadrado al círculo. Luego es
339,41 mm. (ver imagen en página 20)
Las discrepancias con las medidas precisas son:
Ancho
mm palmas(75mm) Largo
mm (palmas
)
Medidas (V. Poletto) 246 32,8 345 46
Aguade y Fuster 240 32 339,41 45,25
Propuesta 254,56 33,94 360 48
En este escrito se
propone que el tamaño de la lámina deriva directamente de la medida del lado
del cuadrado (o envergadura del hombre T) multiplicado por la raíz de dos,
equivalente a la longitud de la diagonal del cuadrado T y a la diagonal del cuadrado rector √2T.
Ancho =√2T
Largo =√2T.√2= 2T
Mientras que Aguadé y Fuster parten de un ancho proporcional 4/3
con el cuadrado:
Ancho =4/3 T
Largo =4/3 T.√2
La forma de trazar el dibujo difiere poco en ambos casos. Al
mantenerse la proporcionalidad, en ambos planteamientos los cuadrados formados
con la medida del ancho de la lámina, al apoyarse en la parte inferior de la
lámina se alinean con la línea de la clavícula. Igualmente ocurre con el centro
del círculo, queda definido por éste cuadrado en ambos casos, pero posicionado
en la parte superior de la lámina en su corte con el eje r. Siendo el radio el
segmento en r hasta la base de la lámina. Se puede hacer sin embargo sin
necesidad de ello, simplemente tomando la diagonal de la cuadrícula del codo
como se puede observar en la imagen (en el apartado "El Circulo").
La construcción de Aguadé y Fuster en trazo azul, la propuesta en trazo rojo. Manteniendo la proporcionalidad es posible realizar el trazado con medidas distintas.
Las referencias que desde
el mundo del arte, incluso desde la divulgación de las matemáticas, se hace de esta lámina con la proporción
áurea son bastante populares. Sin embargo podemos comprobar que la posición del ombligo, no marca la proporción áurea
entre el círculo y el cuadrado
T/r ≠ Φ
T/r = 4/ θ = 1,656854249…
Siendo θ= √2+1 la “proporción plateada” la que define el circulo. Que aparece con el giro y el ángulo de 22,5º ó π/8.
tg(π/8) = 1/ θ.
Si tomamos como unidad de medida el codo (1/4 de T), entonces el radio del círculo es
r= √2+1 = θ codos
EL CODO REAL EN LA GEOMETRÍA DEL HOMBRE DE VITRUVIO
En el HV se usa el sistema métrico del antiguo Egipto con su codo natural de 6 palmas; pero, es más conocida la unidad de medida del codo real de 7 palmas (cr a partir de ahora) por ser la utilizada en la construcción de las pirámides.
Si hubiese en el Hv una referencia al cr, ésta debería de ser con la raíz de dos(8), como hemos visto. En este sentido Petrie pensó que el origen del cr estaba en un péndulo de longitud 29,157 ins. Siendo el cr el lado del cuadrado cuya diagonal es esa longitud que equivale a 2 remens o 40 dedos.
Por eso, para Petrie el cr = 40/√2 = 28,28427 dedos
En Wisdom of the_Egyptians expone los siguientes argumentos:
“ Si los egipcios usaron la plomada como péndulo no nos ha llegado
constancia. Pero el hecho notable es que 29,157 ins. (la diagonal de un
codo cuadrado de 20,62 ins.), que fue la base de toda medida de tierra, es la
longitud que oscilaría 100.000 veces en 24 horas, exactamente cierto en la
latitud de Memphis.”
“La unidad de medida lineal era el codo real de 20,6 ins. La media diagonal de esto era el remen, una segunda unidad de 14,6 ins., que se dividió en 20 dedos de 0,73. Por lo tanto, mediante el uso de la diagonal, la mitad de cualquier área cuadrada podría formarse fácilmente. La mitad del área de 100 x 100 codos también se llama remen en la medida de la tierra.”
La hipótesis del péndulo está desacreditada, pero es notable que se admita a partir de los textos egipcios una relación entre el remen y el cr en proporción √2. En particular por estar relacionada con una medida de área terrestre denominada igualmente remen. Petrie dice:
“El codo se dividió en 7 palmas, cada una de 4 dedos, como la más cercana aproximación al dedo verdadero; se multiplicó por 100 para hacer el khat, que era la base de la medida de la tierra. Esta longitud al cuadrado, de 10,000 codos cuadrados... “
El khat son 100 cr. La medida de superficie de la tierra a la que se refiere Petrie es el setjat, igual a la superficie de un cuadrado de lado 100 cr o un khat. Pero algunos autores relacionan esta superficie con un rectángulo de 1000 x100 cr.
rm2 = (cr/√2)2 = cr2/2
Este hecho relaciona remen y codo con la proporción √2 (quizá con la proporción 7/5, forma más simple de aproximación racional, aunque el error podría ser considerable) aplicado al replanteo práctico de las medidas de la tierra, en lo relativo al cálculo de áreas, pues trazando la diagonal con una cuerda se esperaría una medida más correcta que usando el ajuste del codo real con números racionales.
Para Petrie el verdadero dedo es el del remen en tanto que deriva del codo natural. ¿Podríamos pensar que por métodos geométricos tomando medidas en palmas, dedos o codos naturales, corregían el problema de la incapacidad de manejar con precisión raíz de dos? Lo cierto, y de ello da fe Petrie, la precisión de sus medidas en codos reales en las tres pirámides de Guiza es asombrosa, muy superior a la que se usa actualmente en construcción civil.
Entonces el remen tendría 20 dedos del codo de 24. Esto es, 5/6 del codo natural.
Hemos visto que la relación entre el cuadrado y el radio del HV era:
T/r = 24/ (√2+1)* 6
T/r = 4/ (√2+1) = 1,656854
Sabemos que para el escriba esto era equivalente a un racional como 10/6 = 1,6666... dentro del contexto de las matemáticas egipcias, al menos en la práctica de sus funcionarios (escribas o técnicos) usaban solamente racionales y de forma limitada.
Esto es equivalente a pensar que la relación entre el lado del cuadrado y el radio es similar a la que hay entre un doble remen y el codo natural.
T/r ≈ 2rm/c
Por eso, dado que el lado del cuadrado mide 96 dedos que serian 96/20 = 4,8 remens
Por tanto 2,4 doble remens (de 40 dedos). Implica que el radio es 2,4 codos (realmente √2+1).
Ahora busquemos una relación geométrica con el codo real, tomando como referencia la relación cercana con el remen tal que:
2rm/c ≈ 4/ θ
 |
Sustituimos rm por cr
cr/√2 ≈ 2c/ θcr ≈ 2√2c/ θ ; para simplificar sustituimos 1/ θ = √2-1
cr ≈ 2√2 (√2-1) c ≈ 4- 2√2 c ( en unidades del cuadrado T es √2/2 en la imagen 24)
Este valor es 1,17157 c que multiplicado por 24 dedos es
24 x 1,171573 = 28,11775 dedos
Si tomamos como unidad el lado del cuadrado
cr ≈ 24-12√2
cr ≈ T-√2*T/2
Por tanto podemos definir el cr gráficamente como la diferencia entre el lado del cuadrado y la diagonal del semilado.
Pero recordemos el octógono.
El lado del cuadrado se descompone en el lado del octógono T = Lo +2x
Lo = 1/ θ
Luego T = 2x+1/ θ
X = Lo/√2
X = 1/ θ √2
X = (√2-1)/√2El diámetro del circulo es igual a la suma de las longitudes de dos rectángulos semejantes al marco: El rojo + el azul
El rojo es la ¼ parte del negro (que incluye el cuadrado T) y por tanto es ⅛ del marco de la lámina. El azul es su mitad, por tanto es el 1/16.
Si tomamos como unidad de medida T, recórdemos que T/r = 4/ θ
r = θ/4; luego el diámetro
2r = θ/2 = √2/2+1/2
Que podríamos leer como la mitad del cuadrado más la diagonal de la mitad (imagen siguiente).
X = (2-√2)/2
Luego 2x = 2-√2
Comprobémoslo
T = (2-√2) + (√2-1) = 2-√2+√2-1 = 1 como queríamos demostrar
X = [(2-√2)/2].96 = 28,11775
Antes dedujimos que cr ≈ T- (T/2)√2 = 96-46*√2 = 28,1175
Por tanto, a partir del octógono formado con el giro del cuadrado se obtiene esta cercana medida del cr.
Lo más curioso es que la medida del lado es por
tanto Lo =1/ θ
Que se deduce en dedos como 2 x 28,1175-96 = 39,7645
Redondeando serian dos remen = 40 dedos.
El radio del circulo interior es c/ θ.
Luego si restamos el diámetro 2c/ θ a 2 c. Tenemos el cr.
cr ≈ 2-2/ θ
En la imagen tenemos el octógono inscrito en el cuadrado de lado T (4 codos naturales), cuyos lados son aproximadamente dos remens, restando dos codos reales en cada esquina del cuadrado.
Además hay 4 codos reales más (en rojo). Relacionados con ellos están los dos círculos rojos, respectivamente de radio cr y de diámetro cr.
La imagen siguiente significa que T puede descomponerse en:
T = 4ri+2cr = 4(√2-1)+2cr
Teniendo en cuenta que los círculos ri tienen un diámetro similar al remen
T =2rm+2cr
Lo cual es totalmente tan cierto para un cr de 28 y un remen de 20 dedos respectivamente; como para cr con un valor de 28,11774901 dedos y un rm = 19,88225 dedos.
La imagen siguiente significa que T puede descomponerse en:
T =
4ri+2cr = 4(√2-1)+2cr
Teniendo
en cuenta que los círculos ri tienen un
diámetro similar al remen
T
=2rm+2cr
Lo cual es totalmente tan cierto para un cr de 28 y un remen de 20 dedos respectivamente; como para cr con un valor de 28,11774901 dedos y un rm = 19,88225 dedos.
El diámetro del circulo es igual a la suma de las longitudes de dos rectángulos semejantes al marco: El rojo + el azul
El rojo es la ¼ parte del negro (que incluye el cuadrado T) y por tanto es ⅛ del marco de la lámina. El azul es su mitad, por tanto es el 1/16.
Si tomamos como unidad de medida T, recórdemos que T/r = 4/ θ
r = θ/4; luego el diámetro
2r = θ/2 = √2/2+1/2
Que podríamos leer como la mitad del cuadrado más la diagonal de la mitad (imagen siguiente).
El segmento verde es la semidiagonal del cuadrado T.
Esto es equivalente al giro del cuadrado, la forma más sencilla de encontrar el diámetro del círculo a partir del cuadrado a la vez que coherente con la geometría antigua pues solo es necesario un compás: las medidas geométricas precisas se trazan, no se calculan; sin embargo no es absolutamente determinante. En todo caso una apreciación, parece que el círculo en su extremo superior no coincide con el vértice del cuadrado girado, rebasa ligeramente las 5 palmas (20 dedos) desde la cabeza del hombre. Teniendo en cuenta los errores gráficos de la fotografía, de la lámina y del mismo dibujo es discutible este y cualquier otro método.
Consideraciones metrológicas
Las proporciones del modelo antropométrico generaron los sistemas metrológicos. Los factores numéricos a considerar son los primeros primos(9): 2, 3 y 5. El 2 se encuentra en la paridad o simetría del cuerpo, el 5 en las manos. Con ambos tenemos el sistema decimal. Es con el 3 cuando se completa para hacer el sistema sexagesimal, según parece derivado de las tres falanges de cada dedo, con las que aparece una unidad de medida en docenas (3x4 dedos=12; usando la otra mano para contarlas 5x12 = 60). Es interesante destacar que el uso en el antiguo Egipto del modelo sexagesimal, de origen sumerio, no se ha admitido aunque existen indicios(10). Este sistema uncial será el común posteriormente, incluso lo es en el sistema métrico anglosajón. Las palabras inglesas ounce (onza) e inch (pulgada = 1/12 de pie) derivan de uncia, que se traduciría como 1/12, la unidad del sistema romano duodecimal(11).
Plantear
la presencia del cr significa introducir el siguiente factor primo. ¿Dónde vemos en un sistema antropométrico el factor
7? Luis Castaño (2017) identifica que el
pie del HV es 1/7T, sin embargo reconoce que ese es un pie natural distinto al
pie metrológico egipcio, romano o griego que equivale a 1/6T. Según él deriva
del patrón más antiguo encontrado de origen sumerio, la vara de Nippur. En
concreto de una medida de 15 dedos que considera el pie original, aunque otros
estudiosos lo identifican como un semicodo sexagesimal.
Precisamente esto
proporciona la mejor de las explicaciones del origen del cr hasta ahora, como
el paso de la medida sexagesimal sumeria de 30 a 28, para ajustarlo al dedo del
codo natural. Recordemos que
el cr se plantea como una asimilación geométrica de una medida desconocida, que
parece ser la proporción geométrica entre el lado de un cuadrado y su diagonal.
Por eso, llamar a esta medida “codo” es
un abuso del lenguaje pues no es un
codo. Lepsius y Petrie, ya advirtieron que las varas del codo real presentaban
la anomalía de un último dedo alargado(12).
Esto se ha interpretado como consecuencia de que el artesano alargaba la copia
para no quedarse corto. ¿Una interpretación reciente para escapar de
interpretaciones incómodas? Otra es el ajuste con el último dedo a la
proporción geométrica irracional. Lo cierto es que la longitud de las varas del
codo real más recientes son más largas que sus predecesoras de muchos siglos
antes; pero, en nuestra hipótesis, sería el resultado de la menor precisión(13).
En todo caso, se cuestionan estas medidas al llegar hasta nosotros unas piezas
de museo que son claramente artilugios ceremoniales, no son útiles de trabajo,
lo cual me parece que tiene bastante sentido.
En todo caso,
Lepsius plantea razonablemente que estas “rarezas” del cr obedecen a su
origen (incierto para él) que obligó a ajustarse a un sistema antropométrico
bien establecido, el del codo de 24
dedos. El mismo que unos cuantos milenios después usa
Leonardo da Vinci.
Petrie va más allá
e interpreta, a partir de ciertos textos una proporción del remen como la
semidiagonal de un cuadrado de cr de lado. Pero bien podría ser una forma de
ajustar el cr dentro del sistema métrico tradicional egipcio. Es aquí cuando
aparece la proporción irracional raíz de dos.
Un ajuste parecido tomando el codo natural es el que aparece en la lámina 17√2 ≈ 24. En ambos casos nos estamos refiriendo a un acercamiento gráfico, nunca a un cálculo.
Pero si hiciésemos ese cálculo, deberíamos de hacerlo comprensible para el escriba.
Una aproximación de √2(14) ≈ 1,416666... = 51/36
1,4 + (5/3)/100 = 1,4+1/60 cantidad que nos remite al sistema sexagesimal; 7/5+1/60 = 85/60
¡Vaya! 60/60 +24/60+1/60
Una forma de relacionar las proporciones antropométricas con las fracciones egipcias es la siguiente.
Como se ha dicho sería un sistema duodecimal de particiones (3, 4, 6, 12, 24, 48 y 96) respecto a la unidad que sería la altura del hombre.
Entonces cada una de estas particiones es la siguiente fracción de la talla del hombre
|
Partición (p) Sistema HV |
3 |
4 |
6 |
12 |
24 |
48 |
96 |
|
Fraccion T/p |
32 |
24 |
16 |
8 |
4 |
2 |
1 |
|
Denominador "Ojo Horus" 2n |
32 |
2x=24; no tiene solución racional |
16 |
8 |
4 |
2 |
1 |
SIMBOLISMO
Finalmente, usar el número √2 responde de la forma más sencilla y racional a explicar la forma en que se dibujó el cuadrado y el círculo HV. Se le puede dar un sentido simbólico, algo habitual de la arquitectura antigua, que es el uso geométrico de números inconmensurables (que no son medidas) pero que pueden ser llevados al mundo físico a través de un instrumento tan simple como el compás. Su uso podría estar motivado por el mero placer estético que presenta estas armonías o su sentido trascendente en la arquitectura sagrada. Así aparece en el llamado "Libro de los Muertos": “la medida en codos reales y no en otros codos”.
En
este sentido, siguiendo los escritos de
Heródoto, Estrabón, Diodoro, Platón o Aristóteles, podemos decir que la
geometría nace dentro de una casta selecta de sacerdotes constructores. Que
posteriormente generará una antigua tradición mística de geómetras de la que
tenemos referencias tardías, como es el caso de Pitágoras, en la que los
números y sus formas geométricas tienen valores trascendentales y conectaban al
ser humano con la divinidad. Derivados
de los mismos principios que regían la
civilización egipcia desde su origen: la maat que era armonía y lo que los griegos llamaron Cosmos (κόσμος =
orden).
Entonces
al uso de la √2 cabría buscarle un sentido simbólico siguiendo la larga
tradición del antiguo Egipto(15);
al llevar una forma como es el cuadrado, que representa los terrenal y
humano a un círculo divino que está
regido por un inconmensurable y transcendental pi, que es posible acercar con
el giro realizado.
DISCUSIÓN
Aunque hay quien ve en esta lámina intenciones metrológicas, yo pienso que estamos ante un canon del arte de origen egipcio y que responde a unas medidas naturales como es el codo de 24 dedos. La presencia del “número de plata” puede ser casual, aparece con el octógono formado con el giro del cuadrado. Mientras que las referencias al codo real son especulativas, igual que al remen.
En todo caso, es
evidente que Leonardo da Vici planteó la lámina usando √2.
Notas:
(1)
Siguiendo el canon del arte griego (tomado de Egipto) se usan las proporciones
2,3 y 5. Con ellas se forma el codo natural de 5 palmos, de 4 dedos cada uno.
Este sistema se extendía por todo el mundo antiguo; así, con estos tres
primeros factores primos se forma el sistema sexagesimal sumerio.
(2) Las
expresiones “Hombre en T”, “Hombre en X”, “Hombre en I” y “Hombre en Y” son
términos empleados por Luis Castaño (2013) en sus investigaciones sobre la
representación del “Hombre de Vitruvio” de Leonardo para describir las posturas
de los diferentes modelos antropométricos.
(3) Esta forma de aproximar √2 la sugieren Fuster y Aguadé del estudio del marco del HV como una proporción equivalente a 7/5 ≈ √2.
(4)Actualmente la norma internacional de estos formatos es la ISO 216 derivada de la alemana DIN 476.
El ingeniero Walter Forstmann creó un sistema para determinar tamaños del papel con proporción idéntica entre lados. De tal forma que partiendo de una superficie arbitraria de 1 m2 (DIN A0) impuso que los lados de 1.189 x 841mm estuviesen en la proporción 1,4137931 ≈ √2.
¿Por qué? Es una forma de obtener con un simple corte medio toda una serie de formatos de hojas de papel semejantes sin restos tras los cortes.
Si una hoja tiene longitud a y anchura b, al dividirlo por la mitad tendríamos otra hoja con longitud b y anchura a/2. Si pedimos que se mantengan las proporciones de la hoja, deberá verificarse:
a/
b = b /(a/2), de donde a2
= 2·b2
y por tanto, a = √2·b
(5) Al igual que ocurre con el número áureo que tiene asociado la sucesión de Fibonacci, el número de plata tiene una sucesión determinada por la suma infinita:
La sucesión de aproximaciones racionales para la fracción continua es:
Los primeros números son 2; 5/2; 12/5; 2,41666
[(12*60)+5]/300 = 725/300 = 29/12 = 2+1/3+1/12 (expresado como lo haría un egipcio)
Por otro lado 5/3 nos proporciona un paso entre el sistema sexagesimal y decimal. Más exactamente entre la partición de la unidad en 6 y 10 veces.
Recordemos que Φ es irracional, por lo que una buena aproximación racional es 5/3
5/3 = 1.66666666
¿Hay una expresión manejable por los egipcios que sea
más aproximada?
1+1/2+1/8+1/32 = 1,65625
(6) En la ingeniería ambiental se usan sistemas de información
geográfica o GIS, siendo habitual trabajar con ortofotos aéreas fieles a la
planimetría, porque un programa informático ha creado una proyección ortogonal
en todos sus puntos. Sin esta corrección la deformación que vemos desde un
avión crece conforme nos alejamos tan solo un poco de la vertical recta
(ortogonal), obviamente más allá hay que tener en cuenta la curvatura
terrestre.
La mayor precisión gráfica para un ojo humano son 0.2 mm.
Luego una medida sobre la lámina ya cuenta, al menos, con ese error de
apreciación. Para la medida real, como el dibujo está a escala 1/10, este error
se multiplica por 10. Así, si decimos
que la envergadura T mide 1,80 m el error es de 2 mm en cada sentido. La medida estaría entre 1,78 y 1,82 m.
(7) Cuando vemos que el HV parece medir 1.80 m
deberíamos de preguntarnos cómo es posible ¿Acaso Leonardo conocía el SMD?
Esto es un problema que subyace en la “metrología
comparada”. Supongo que éste es el primer pecado del que mide, así Charles
Pezzi vio en las medidas de las pirámides en pulgadas una correlación lógica.
Posteriormente se ha repetido con las medidas en metros. Por tanto, no debemos
de caer en la trampa de pensar que Leonardo dibujó usando el SMD. Su dibujo
humano tiene una talla de aparentemente 1,80 m.
Para Luis Castaño Sánchez, la talla del hombre
del canon -exactamente 1,80m - es la base del codo egipcio y otras medidas
sumerias, más aún, forma parte de lo que él llama El Sistema de Medidas
Antiguo, común para estas antiguas civilizaciones. Siendo así que el dedo seria
180/96=1,875 cm. En una publicación reciente sobre la Vara de Nippur, de antigüedad
paleobabilónica, dice encontrar relación con las proporciones del Hombre de
Vitruvio. La vara mide 110,35 m, lo que para él correspondería a la distancia
entre el omb
ligo y el pie. Piensa así que la vara se divide en 59 dedos, siendo
110,35/1,875 = 58,88.
Sin embargo, parece más certera la medida del
dedo de 1,87 cm, puesto que 110,35/1,87 = 59,010.
(8) La cámara real de la pirámide de Khufu (Keops) está
construida a un nivel del suelo en el que un plano paralelo a la base
cortaría una superficie ( b2 ) que es la
mitad del área de la base ( B2 ). Esto da pie a pensar en la posibilidad de que
los matemáticos del país del Nilo
conocieran perfectamente esta relación:
El
lado de la base de la pirámide es √2 veces la base en la
que se encuentra la cámara funeraria del rey, el mismo valor que se obtiene al
calcular la relación de la diagonal (d) de dicha superficie con respecto a su
lado (l).
d2
= l2 + l2 = 2l2
d =
l√2
d/l =
√2
(8) Curiosamente el siguiente primo es 7 clave para el cr y el siguiente el 11. Ambos aparecen de forma no casual en la pendiente de la Gran Pirámide (El sequed es 14/11 o pendiente de la cara igual a la tangente de 14/11; con el que se obtiene la aparición del siguiente número incomensurable, phi. Además, de una forma sublime, relacionada nuevamente con el triángulo sagrado egipcio, como es la progresión geométrica de phi).
(9) La primera medida estándar de longitud conocida fue una pesada barra de cobre, desenterrada en Nippur, en el río Éufrates, que data de alrededor del año 2650 a. C. Según Duran, Z. y Aydar, U. (2008) :“Los metrólogos contemporáneos admiten en general que el pie romano se deduce directamente de la medida del codo de Nippur, ya que los egipcios, a principios del tercer milenio a. C., compartían la antigua medida sumeria de Nippur de 30 dígitos en 28 dígitos. 518 ÷ 28 = 18, 5 mm. 18,5 × 16 = 296 mm.”
Otro indicio aparece en el calendario, ya que el año formalmente era de 360 días, dividido en 12 meses de 30 días. Añadiendo 5 días llamados epagómenos. También en la división del día y la noche en 12 horas, que conservamos en la medición de nuestros relojes diferenciando el tramo anterior y posterior al mediodía (a.m./p. m.).
(10) Dedo es 0,75 pulgadas o uncias, haciendo 3 una palma, 12 un pie y 6 pies la talla del hombre.
Según Frank Zöllner: «el sistema metrológico de origen griego es un modelo antropométrico basado en un sistema duodecimal de particiones (3, 4, 6, 12, 24, 48 y 96) en función de la altura del hombre según patrones de antiguos cálculos fraccionarios, cuyo uso puede remitirnos a la práctica de la arquitectura».
Para Stephen Skinner (2007) los orígenes del sistema de medidas antropométrico vitruviano en base duodecimal recogido por Leonardo se remontarían al antiguo Egipto: «el Hombre de Vitruvio, obra de Leonardo, cuyo propósito original era mostrar cómo la medida del codo de los antiguos egipcios podía aplicarse a las dimensiones del hombre.»
(11) El cr original mediría unos 0,523 m, alargándose ligeramente desde la III dinastía. Solamente 1 ó 2 mm en más de mil años.
Las más famosas varillas son la de Kha de aproximadamente 0,524 m; la de Maya y Amenemope que miden aproximadamente 0.525 m.
(12) Un ejemplo de
la pérdida de precisión es la solución adoptada para el cálculo de la longitud
de la circunferencia o el área del círculo. No hay constancia que conociesen el
número pi, tan solo que usaban un racional cercano y, la mejor precisión en el Reino Antiguo, pudo
ser 22/7 = 3,142857; mientras que en la época
ptolemaica parece que se conforman con usar la proporción 3.
En 1929 Vogel ( Architecture and Mathematics in Ancient Egypt, Corinna Rossi, pp 65 fig 40 ) ideó un método ingenioso que podría explicar cómo medían el área del círculo los antiguos egipcios. Para ello inscribió el círculo en el cuadrado de lado igual al diámetro del círculo. El cuadrado se divide así en 9 partes (como una cara del cubo de Rubik 3x3). Se forma un octógono irregular con 4 lados que miden ⅓ y otros cuatro que miden la raíz de dos de ⅓ (diagonal de los cuadrados que quedan en las esquinas de cuadrado unidad).
Los egipcios tomarían 7 de estos cuadrados como aproximación al área del círculo. Que son los cuatro que forman una cruz más el del centro, y las mitades de las 4 esquinas que suman los otros dos.
7x (1/3)2 = 0,7777 unidades de superficie.
Siendo el valor del área de circulo de diámetro igual a la unidad S= π*0,52 = 0,7854
Luego con este método la precisión es equivalente al cálculo con π = 3,1111.
En el papiro Rhind hay un problema con una ilustración de un círculo y una división en cuadrados similar, aunque no está claro su significado, quizá porque el copista no supo entenderlo.
En
el ejemplo anterior tendríamos para un circulo de diámetro la unidad 0,92=0,81,
cuando sería 0,78, con una precisión de pi=3,24
(13) Una curiosidad en el cálculo del valor de la √2, en donde se aprecia su singularidad y relación con los primeros primos: 2, 3, 5, 7.
Se llaman números de Pell o números lambda
a los términos de la sucesión: 0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378,
5741, 13860, 33461, 80782, 195025, 470832, 1136689, ..., que se obtienen
mediante la fórmula de recurrencia a1 = 0; a2=1; ... an
= 2.an-1 + an-2.
Igualmente se forma la sucesión 1, 3, 7,
17, 41, 99... se les conoce como números de Pell-Lucas
Pues el cociente entre ambas sucesiones
converge en √2.
a b a/b
1 1 1
3 2 1,5
7 5 1,4
17 12 1,416667
41 29 1,413793
99 70 1,414286
239 169 1,414201
577 408 1,414216
1393 985 1,414213
3363 2378 1,414214
. . .
. . .
. . .
(14)En arquitectura se han
usado tradicionalmente proporciones racionales denominadas comensurables o
estáticas:
Mientras
que a las irracionales se las denomina como inconmesurables o dinámicas:
Este
sería el caso de la proporción aúrea
La más simple, raíz de 2 de la que derivada la proporción de plata: 1+√2
Bibliografía consultada:
Duran,Z. y Aydar
U. (2008) MEASUREMENT AND 3D MODELLING OF AN ANCIENT MEASURING
DEVICE: NIPPUR CUBIT ROD. The
International Archives of the Photogrammetry, Remote Sensing and Spatial
Information Sciences. Vol. XXXVII. Part B5. Beijing 2008.
Castaño, L. (2013) Metrología Histórica: Una Nueva Propuesta. Academia.edu.
Moreno Gómez, A.M. (2025) "El Hombre de Vitruvio . Un Trazado Basado en el Número de Plata". Academia.edu.
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